二次函数与一元二次方程教案2
二次函数与一元二次方程
教学目标
(一)教学知识点
1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
2.进一步发展估算能力.
(二)能力训练要求
1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.
2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.
(三)情感与价值观要求
通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.
教学重点
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
教学难点
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
教学方法
学生合作交流学习法.
教具准备
投影片三张
第一张:(记作§2.8.2A)
第二张:(记作§2.8.2B)
第三张:(记作§2.8.2C)
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.
Ⅱ.讲授新课
一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.
投影片:(§2.8.2A)
下图是函数y=x2+2x-10的图象.
[师]从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.
[生]有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).
[师]由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算.
[生]从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个数进行计算,利用计算器进行探索.
x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
从上表可知,当x取-4.1,-4.2,-4.3,-4.4时,y的值都不等于0,所以x的取值还不准确,应继续估计百分位上的数,十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字.所以x应取负的4点3几.再按同样的方法求百分位上的数字.依次类推,即可求出比较准确的x的值.
[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行,但我们的重点是求解方程的思路,而不是求解的结果.因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.
[生]因此,x=-4.3是方程的一个近似根.
[师]有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.
[生]另一个根在2与3之间,应是2点几,再用计算器进行探索.
x 2.1 2.2 2.3 2.4
y -1.39 -0.76 -0.11 0.56
由于当x=2.3时,y的值最接近0,所以另一个根的近似值为x=2.3.
[师]还有其他的方法吗?
[生]有,可以把-5与-4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求:
投影片:(§2.8.2B)
二、做一做
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根.但是还与上面的题型不太一样.上面的题是利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根,现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2+2x-10=3的根呢?
[生甲]利用函数y=x2+2x-13的图象求方程x2+2x-10=3的近似根.
; [生乙]也可以在上题的基础上进行,利用函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3的交点的横坐标求方程x2+2x-10=3的解.
[师]究竟哪一种方法正确呢?我们下面就来验证一下.
[生甲]函数y=x2+2x-13的图象如下图(投影片§2.8.2C):
由图可知,图象与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.
x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9
y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21
因此x=-4.7是方程的一个近似根.
另一个根可以类似地求出:
x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21
因此x=2.7是方程的另一个近似根.
[生乙]分别画出函数y=x2+2x-10的图象和直线y=3,找它们交点的横坐标即可.
由图可知两根分别为x=-4.7和x=2.7.
Ⅲ.课堂练习
P71随堂练习
Ⅳ.课时小结
本节课学习的内容:
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;
2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.
Ⅴ.课后作业
习题2.10
Ⅵ.活动与探究
一元二次方程x2-4x+2=-1的根与二次函数y=x2-4x+2的图象有何关系?请你把方程的根在图象上表示出来.
解:一元二次方程x2-4x+2=-1的根可以看成函数y=x2-4x+2的图象与直线y=-1的交点的横坐标.
图象略.
板书设计
§2.8.2 二次函数与一元二次方程(二)
一、1.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10的根(投影片§2.8.2A、B).
2.做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
