能根据具体的例子说一说吗?
生:4/5是5/4的倒数,5/4是4/5的倒数。
教师板书:就是----
师:哎呀!老师忘了,怎么说?
生:4/5是5/4的倒数,5/4是4/5的倒数。
教师接着板书:4/5的倒数就是5/4,5/4的倒数就是4/5。
教师出示卡片:判断:2和1/2都是倒数。( )
师:谁来判断一下这句话的正误,请说明理由。
生1:错了,1/2倒过来是2/1。
生2:对的,因为2可以化成2/1
师:刚才这两位同学争论的是这两个数的形式,请大家再想一想,判断一句话说得是否正确,应该怎样想?
生3:应根据倒数的意义去判断。
师:说得好。判断一句话的正确与否,主要看实质,不能仅看表面形式。
生3:错了。不能说“都是”,应该说出谁是谁的倒数。
生4:错了,应该是2和1/2互为倒数。
②剖析“乘积是1”的含义。
师:谁再来解释?
生:我想为大家解释“乘积是1”,就是一个数乘一个数。
师:“我想为大家解释”,这位同学非常好,愿意把自己的智慧贡献出来与大家分享。
教师出示卡片:判断:因为1/3+2/3=1,所以1/3和2/3互为倒数。()
生:错了,因为不是乘积是1,而是和是1。
(4)探究求倒数的方法。
师:谁想再解释吗?
生:我想解释4/5的倒数的分子就是4/5的分母,4/5的倒数的分母就是4/5的分子。
师:你的意思就是互为倒数的两个数,分子、分母的----
生:分子、分母的位置对调一下。
教师板书:分子、分母调换位置。
师:你叫什么名字?(生齐说:陈潇雨)你真了不起,有了自己的发现。
教师板书:陈潇雨发现(板书在分子、分母调换位置的后面,用红色粉笔书写)。
教师板书:
师:你对老师画的两个箭头,有什么想法?
生:5/4是4/5的倒数,但4/5也是5/4的倒数,所以不能只画两个箭头。
师:所以,还要----
生:还要画两个箭头。
教师在原来的线上加了两个从右到左的箭头。
师:你叫什么名字?(生齐说:周宇明)
教师板书:周宇明发现(板书在有箭头式子的右边)。
[反思:在原来的教学设计中,求倒数的方法是在后面的,但现在学生提出来了,我就把这个环节提上来了,并从中得到启发,再一次让学生体会“互为”的意思。其实我们只要相信学生,给他们信念,农村孩子的表现照样会令教师意想不到,这就是教学相长。]
(5)探索倒数的特例。
师:谁愿意把自己的智慧继续与大家一起分享?
生1:我想解释“两个数”,就是两个因数。
师:哈!“互为倒数”被别人解释了,“乘积是1”也给别人解释了,只有这“两个数”了。这位同学的发言让大家的注意力集中在“两个数”了。谁有不同的想法?
生2:这两个数是两个分数,不是分数的可以化成分数,是整数的或小数的都可以化成分数。
师:成倒数的两个数中,应该有几个整数?
生3:两个整数,不!不对,应该是一个整数。
师:谁能举个例子?
生4:4×1/4=1。
生5:12×1/12=1。
师:他刚才先说两个整数,有可能吗?
生6:不可能,比如5×5=25。
师:(看见学生举手,想发表不同意见,于是指名回答)你说呢!
生7:那1×1不是等于1吗?确实是两个整数啊。
(对方同学哑口无言,其他同学也很惊讶:哎!1×1是等于1。)
师:那你是什么意思?
生7:乘积是1的两个数互为倒数(1除外)。
师:请大家找一找,课本上这句话的旁边有'1除外'吗?
(学生打开课本,没有这句话。)
师:1×1=1符合这句话吗?(生齐答:符合)那你有什么新的想法?
生7:1的倒数是1。
师:你叫什么名字?(生:王晨)
教师板书:王晨发现(板书在“1的倒数是1”的右边)。
师:显然1是一个特殊的数,还有没有特殊的数?
生齐答:0
生1:0除外。
师:课本上在倒数的意义中,为什么不加“零除外”呢?
生2:因为0×0=0,所以0不能互为倒数。
生3:0乘任何数都是0,不可能得到乘积是1。
师:你有什么想法?
生3:……(一时语塞)
师板书:(边板书边说:我板书两个字,你肯定说得出了)没有。
生3:0没有倒数。
教师:“0没有倒数”这个发现好,说明了并不是所有的数都有倒数。
师:这个结论也有张老师一半的智慧哦!(教师的幽默引来了学生善意的笑声)你叫什么名字?(生:池静宜)
这时,有学生提议:让池静宜来写。
师:你的字一定很漂亮,好吧,请!
该学生上黑板板书:0没有倒数。池静宜突然停笔,面对老师问:“老师,你的名字要写吗?”(学生都笑了)
师:不要了。谢谢你!你写的字真漂亮,下了课,你能写幅书法作品给我吗?
生:好的!(师生握手,生愉快地走下台。)
[评析:上面的几个环节,听课老师课后回味说:“是一幕精彩的话剧,又如尝到了一道道鲜美的佳肴。”为了深层次地剖析倒数的意义、方法与特例,确立以学生为主体,让学生主动探究,深入研究,教师因势利导地板书,恰到好处地表扬与鼓励。在这样的对话中,学生不仅受到数学的熏陶,而且更为重要的是情感态度价值观的确立,学会了终身受用的本领,即对一些概念的深层次的理解、内化及运用,深刻理解倒数概念的内涵与外延,同时培养了学生善于发现问题的能力。教师在与学生的心理沟通方面自然亲切,在落实建立新型的师生关系方面为我们作了示范。]
[反思:对于两个特例“1”和“0”,本课没有专门由教师提出,而是在学生的深入思考中得出的,这就是学生学习的成果。当下面有学生提议让池静宜来写时,我顺水做了一个人情,因为屯村小学是以写字为教学特色的,多次被朱永新教授作为例子介绍。学生在与老师的对话中受到熏陶,有了情感的体验,真情地流露出:“老师,要不要写上你的名字?”同时,对于高年级学生来说,那种单一的语言上的表扬“你真棒!”“不错!”“了不起!”已激发不起学生的持续的学习激情,重要的是使学生感受到学习的乐趣与成功感。在我第二次去屯村小学听课时,正好碰到了池静宜同学,她不仅与我主动打招呼,还问我是否收到她的
作品,我想这就是作为教师的幸福。]
4.综合练习
(1)教师出示卡片①:判断并说出理由:0.25的倒数是4。( )
生:对的。因为0.25×4=1,所以0.25的倒数是4。(下略)
教师出示卡片②:2/3×( )=1。
学生积极举手,想说答案。
师:老师知道大家都能很快说出答案,我想问的是,这道填空题是什么意思?
生1:求2/3的倒数是多少。
生2:2/3的倒数是3/2。
教师出示卡片③:1÷2/3=( )。
师:这个算式又是什么意思?
生1:求2/3的倒数是多少。
生2:2/3的倒数是3/2。
卡片④:7×( )=1。
生:7的倒数是1/7。
卡片⑤:1÷7=( )。
生:7的倒数是。
师:你能换句话说说吗?
生:1/7是7的倒数,7和1/7互为倒数。
卡片⑥:1/9×( )=1。
生:1/9的倒数是9。
(2)教师出示卡片⑦:一个数与它的倒数的和是8(1/8),这个数是( )。
生:这个数是8。
[反思:在这里由于自己的疏忽,学生回答了8后,没有让学生继续思考“还有没有其他答案”,而正因为倒数的“互为”关系,这题还有另一个答案1/8。教学真是一门遗憾的艺术。我们教师要尽量减少这种遗憾。]
(3)教师出示:填空:3×( )=6×( )=9×( )=1。
(学生说,教师写出答案。)
师:你有发现吗?
生:整数的倒数就是分母为整数本身,分子为1的分数。
师:也就是说,整数的倒数是一个分数单位。
师:原来的3、6、9越来越--?
生:越来越大!
师:那它的----?
生:它的倒数越来越小。
(4)教师出示:3/4×( )=2/5×( )=4/7×( )=1。
(学生说,教师写答案。然后教师擦去1。)
师:现在擦去'1'后,你认为有几种填法?
生:还可以让它们的积等于2、3、……,所以有无数种填法。
师:但是根据倒数的意义来填是最容易考虑的,是吧?
(5)教师出示:填符号或数字。
①8÷2○8×1/2;②10÷5○10×1/5;
(学生说答案,教师写。)
③20÷( )○20×( );
生:20÷(5)=20×1/5。
生:20÷(2)=20×1/2。
……
5.总结延伸
出示卡片:7÷2/3○7×3/2。
师:你猜一下,7÷2/3○7×3/2能划等号吗?(生:能)那究竟为什么呢?我们下一节数学课再作研究,好吗?(生:好)
师:今天我们认识了倒数,同学们有很多发现。刚才有同学记起了公约数只有1的两个数是互质数,现在我们又知道乘积是1的两个数互为倒数,看来数学中有不少这样的规律,希望以后大家创造更多的发现。谢谢大家,下课。
[反思:学习倒数,直接的作用是为学习下面分数除法打基础,所以在课尾作了这样的孕伏。同时对于教学中像“公约数只有1的两个数是互质数”“乘积是1的两个数互为倒数”这样的概念,是不是还有?自己心里也拿不准,深感自身数学知识的不足。]
总评:建构主义理论认为,学生是以原来的经验来解释教材中的内容,建立起一个新的概念,这就是建构。建构是一个逐步渐进的过程,是一个探索与实践、纠偏再实践的循环过程。张老师深知建构在数学教学中的重要作用,在这节课中作了具体生动的诠释。确立以学生为主体的观念,让学生成为课堂的主角,成为发现知识的成功者,引导学生逐步深入探究、剖析倒数的意义和相关方法,并让学生发现其中的数学规律与奥秘,从而激发学生对数学的深层次的热爱。
师生互动全面发展是本课的一大特色。整节课基本上是由教师与学生对话,围绕文本互动的过程。教学的本质是一种沟通与合作。教师创设了与学生围绕“倒数”这个知识目标进行民主、平等、和谐、生动的对话交流的动态情景,在对话交流中,包含了知识信息和情感态度、行为规范等多方面的有机组合,促进了学生多方面素养提高。
数学活动是让学生经历一个数学化的过程,也就是让学生从自己的数学经验出发,经过自己的思考,概括或发现有关数学结论的过程,这是本课体现的第二大特色。特别是学生对倒数意义、方法的再创造的过程给听课教师留下了深刻的印象。
着力培养学生的数学思维是本节课的第三大特色。数学课要引导学生学会独立思考,善于发现数学奥秘,又有效地调动全体学生敢于发现,善于发现,敢于发表自己想法,学会反思、调控、修正自己的观点等优良品质。教师用板书学生姓名的特有方式既肯定了学生的发现,又达到表扬激励及榜样的作用,激起学生的思维一浪高过一浪,后浪推前浪的局面。
最后值得一提的是本课的板书。张老师进行了精心的设计:一是随教学的进程逐步出示,二是抓住概念的重难点,三是同时板书激励语,四是科学规范,给学生以启发。