《点阵中的规律》教学设计

教学目标：
1．在活动中，通过从不同角度观察图形，发现点阵中的规律，利用规律推算出后续图形中点的数量。
2、培养学生推理、观察、概括能力。
教学重点：引导学生发现与概括规律，并进行推算。
教学难点：多角度观察；总结概括规律。
教学过程
一、复习旧知，情境导入
1、做游戏，找规律
师：现在老师想跟大家做个小游戏，怎么样？
生：好。
第一组游戏
师：老师点到学号的同学请站起来，响亮地答应一声“到”，然后再坐下。听明白了吗？
师：1号，3号，5号，7号，下一位。
生：到。（9号学生起立。）
师：你是几号？
生：9号。
师：我没点到你的学号，你为什么起立？
生：刚才，你点到的学号都是连续奇数，7 后面的奇数是9，9就是我的学号。
师：很好，根据规律推算。再注意听。
第二组游戏
师：5号，10号，15号，20号，下一位。
生：到。（25号学生起立。）
师：你是几号？
生：25号。
师：你为什么起立？
生：刚才你点到的学号都是5的倍数。
师：你也懂得利用规律推算。
2、看录像，找规律（大屏出示）
师：下面请同学们仔细看，看看每次上场有多少人？
生：（齐）1个；4个；9个。
师：猜猜下一次会是多少个？
师：我们也可以利用规律进行推算。（老师知道是16个，像刚才的游戏一样，老师也是利用规律进行推算的，这其中有什么规律呢？这就是我们这节课要研究的内容。）（板书：规律）
师：如果我们把刚才出场的每一位同学看做一个点，那么，这些点有规律地排列起来，就成了点阵（出示第一幅点阵图）。（板书：点阵），这节课我们就来研究点阵中的规律（课题补充完整）。
  二、多方观察，探求规律   
师：其实这个问题早在两千年前，希腊数学家们就已经在研究了，大家请看：
大屏出示:
1、一探
师：图中有四个点阵，每个点阵各有几个点我们已经知道了，那么能不能用算式来表示点阵中的点子数呢?（大屏出示）
生： 第一个点阵 1×1     第二个点阵2×2    第三个点阵 3×3   第四个点阵 4×4
师：还有谁也是这样想的？
    请你（指一名学生）再说一遍？
生：第一个点阵 1×1    第二个点阵2×2     第三个点阵 3×3     
 第四个点阵 4×4 （生说师板算式）
师：这样列式是怎么想的？
生：第一个点阵中每行有一个，有一行，列式就是1×1；第二个点阵…(1人)
师：为了形象地表示出他的想法，老师在图中画出横线。他的想法也可以说是横线分，再把……
    （学生边讲，大屏边用横线画出）
师：说得很好，还有谁能说？
生：第一个点阵中每行有一个，有一行，列式就是1×1；第二个点阵…(4人) （生说师在黑板上摆点阵图，摆到第几个学生重复第几个算式。）
师：说得真好，谁能再说一遍？
生：第一个点阵中每行有一个，有一行，列式就是1×1；第二个点阵…
师：大家看黑板上的这些乘法算式，还可以怎样表示呢？
生：也可以写成1的平方，2 的平方……
师：说得很好，用平方表示比乘式更简便。
师：从点阵图到列算式，（指平方式），你发现有什么规律呢？              
生：第一个点阵就是1的平方，第二个就是2 的平方…
师：我们已经用算式表示出前四个点阵中的点子数，第五个点阵的点子数怎样用算式表示呢？第十个？第一百个呢？
师：（指平方式）从点阵图到算式，你发现有什么规律？
生：第一个点阵就是1的平方，第二个就是2 的平方……第几个点阵的点子数就是几的平方。
师：这个规律是从算式中得出来的，算式又是怎样得来的呢？
生：用每行的个数乘行数。
师：对，这就是我们观察的方法，如果我们把这种方法起一个比较形象的名字，可以叫什么呢？
生：横线分。
2、二探
师：刚才我们用横线分的方法发现了点阵中的规律，那么能不能换个角度观察和思考，也能用一组有规律的算式表示这一组点阵中的点子数，发现点阵中的规律呢？这个任务大家在小组中合作完成。
要求：1、用有规律的算式表示点子数。
      2、通过线或其他方法把想法在图中表示出来。
      3、列完算式练习讲想法。
师：拿出题签1（事先画好图---四个点阵图），以小组为单位探讨。
学生自主或合作探究，教师巡视了解情况。
汇报（展台）
师：（指展台上的作品）这是谁的作品，请你为大家讲讲。
生：用竖线分
第一个点阵，每列有一个，有一列，列式为1的平方。第二个每列有2个，有2列，列式为2的平方……
师：列式与横线分的一样，规律也是第几个点阵就是几的平方。
3、三探
师：（指展台上的作品）这是谁的作品，请你为大家讲讲。
生： 我是用斜线分。
第1个： 只有一个，不用再分   1
第2个列式为：             1+2+1
第3个列式为：           1+2+3+2+1
第4个列式为：        1+2+3+4+3+2+1
师：说得很好，谁能把他的想法和算式再说一遍（学生边说教师边板书，几个学生说）。
师：我们已经用算式表示出前四个点阵中的点子数，第五个点阵中的点子数应怎样列式？第十个呢？第二十个呢？

分页代码
师：从点阵图到这组算式，你发现有什么规律呢？
生：从1开始，是第几个点阵就加到几，再反加到1。
师：还有谁能把你发现的规律再说一遍？
师：对，就是从1开始，连续自然数相加，是第几个点阵就加到几，再反加到几。
师：如果同学喜欢用自己的方式表述也可以。从方法到规律，谁能完整说一遍？
生：用斜线分。第几个点阵就是从1加到几，再反加到1.
4、四探
师：（指展台上的作品）这是谁的作品，请你为大家讲讲。
生：用折线分。
第1个：只有一个，不用再分   1
第2个：                    1+3
第3个：                    1+3+5
第4个：                    1+3+5+7
师：谁能再说一遍？指名说。（生说师板书算式）
师：第五个点阵的点子数怎样用算式表示？第八个呢？
生：第五个就是1+3+5+7+9；第八个点阵就是1+3+5+7+9+11+13+15
师：（指板书）第一个点阵的点子数是几个奇数相加？
生：1个。
师：第二个？第三个？
师：从点阵图到列算式，你有什么发现呢？
生：第几个点阵就是从1开始的几个奇数相加。
师：从1开始，是第几个点阵就有几个奇数相加。
师：谁能把观察的方法和发现的规律完整说一遍？
生：折线分，是第几个点阵就有几个奇数相加。
5、小结（大屏出示点阵图，四种算式）
师：刚才我们用几组不同的有规律的算式来表示点阵中的点子数，这一组有规律的算式就揭示了这组正方形点阵中的一种规律，我们用什么方法发现了规律呢？我们可以从哪些角度观察呢？下面，我们以第四个点阵图为例，回顾方法。
（大屏出示不同方法的四个点阵图，重复出现）
师、生：横线分，列式为4 ；竖线分，列式为4 ；斜线分，列式为1+2+3+4+3=2+1；折线分，列式为1+3+5+7。（学生重复一遍）。
师：如果我们把正方形点阵换成长方形点阵，你们能探究出其中的规律吗？这些方法还适用吗？ 试试看 ！
三、融练于趣，应用新知
1、一练
（课件出示83页试一试1）一组长方形的点阵。学生拿出题签2探究，师巡视。
生汇报：（方法、算式。要求：第5个点阵只画图，不分、不列式）
生1：横线分：1×2    2×3    3×4    4×5    5×6
生2：竖线分：1×2    2×3    3×4    4×5    5×6
生3：斜线分：1+1  1+2+2+1  1+2+3+3+2+1  1+2+3+4+4+3+2+1  1+2+3+4+5+5+4+3+2+1
生4：折线分：2   2+4   2+4+6   2+4+6+8   2+4+6+8+10
师：同学们真了不起，学了就会用。出示反面例子（大屏出示）
师：同学们还有其他的方法吗？
师：看到同学们都在积极思考，老师也在琢磨，这是老师的想法，能帮老师列出算式吗？（课件演示）
补      2×2－2   3×3－3    4×4－4    5×5－5
师：这种方法可以叫做——
生：填补法。
割      1×1+1    2×2+2    3×3+3     4×4+4
师：这种方法可以叫做——
生：分割法。
师：探究了正方形和长方形点阵，你有什么收获？
生1：正方形和长方形点阵的一些规律。
生2：同一组点阵，规律不同。
生3：同一组点阵，可以有很多种找规律的方法。
师：同学们概括得很好。那么除了正方形和长方形点阵外，大家想想还应该有什么点阵？
生： 三角形、平行四边形、梯形…
师：其实，还远远不止这些呢！（课件出示）
2、二练
师：在这些点阵中，大家对哪个点阵最感兴趣？（课件出示83页2题），生拿出题签3
师：想不想试一试？画完后说说你是怎么想的？（学生画在题签3上）
生：（生若表述不出来，师来表述）先画一个直角，两边各有两个点；再逆时针画一个直角，两边各有三个等距离的点；依次逆时针画直角，角两边的点依次多一个。
师：多漂亮的点阵啊，你在生活中见到过点阵吗？
四、联系生活，陶情审美
师：老师也准备了一些图片，我们一起来欣赏。（课件出示图片）漂亮吧，可以说点阵应用于生活的方方面面，生活中处处有数学。正如希腊数学家普洛克拉说的一句话：（课件出示）
哪里有数学，哪里就有美！数学美把自然规律抽象成一幅简洁准确的图像。
                               ——古希腊数学家   普洛克拉
师： 希望大家能铭记这句话。热爱生活，热爱数学吧！