数学 - 函数的对称性与周期性
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对称性：函数图象存在的一种对称关系，包括点对称和线对称。
周期性：设函数 的定义域是 ，若存在非零常数 ，使得对任何 ，都有 且 ，则函数 为周期函数， 为 的一个周期。
对称性和周期性是函数的两大重要性质，他们之间是否存在着内在的联系呢？本文就来研究一下它们之间的内在联系，有不足之处望大家批评指正。
一、一个函数关于两个点对称。
命题1：如果函数 的图象关于点 和点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。
证明：∵函数 的图象关于点 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
又∵函数 的图象关于点 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
从而
∴ 即：
∴ 是周期函数， 为函数 的一个周期。
特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于点 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。
命题 ：如果函数 的图象关于两点 和 对称，那么：
当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。
当 ， 时， 不是周期函数。
证明：∵函数 的图象关于点 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
又∵函数 的图象关于点 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
从而
当 ， 时
∴
即：
∴当 ， 时， 是周期函数， 为函数 的一个周期。
当 ， 时
∴
∴
∴当 ， 时， 不是周期函数。
当 ， 时
∴ （与条件矛盾，舍去）
综合得原命题成立。
二、一个函数如果关于一个点和一条线对称。
命题2：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。
证明：∵函数 的图象关于点 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
又∵函数 的图象关于直线 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
从而
∴ 即：
∴
即：
∴ 是周期函数， 为函数 的一个周期。
特例：当 时， 为奇函数，即奇函数 如果又关于直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。
命题 ：如果函数 的图象关于点 和直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。
证明：∵函数 的图象关于点 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
又∵函数 的图象关于直线 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
从而
∴
即：
∴
即：
∴ 是周期函数， 为函数 的一个周期。
三、一个函数如果关于两条线对称。
命题3：如果函数 的图象关于直线 和直线 对称，那么函数 是以 为周期的周期函数。
证明：∵函数 的图象关于直线 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
又∵函数 的图象关于直线 对称，
∴ 对定义域内的所有 成立。
从而
∴ 即：
∴
∴ 是以 为周期的周期函数。
特例：当 时， 为偶函数，即偶函数 如果又关于直线 对称，那么函数 是周期函数， 为函数 的一个周期。
